XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich. Gdy w roku 1827 szkocki botanik Robert Brown po raz pierwszy prawidłowo
opisał nieregularne ruchy drobnych cząsteczek w zawiesinie wodnej,
wydawało się, iż jest to zaledwie kolejny dziwny fakt oczekujący na
wyjaśnienie. Wyjaśnienie to pojawiło się dopiero po bez mała 80 latach w
niezależnych pracach Alberta Einsteina (1905) i Mariana Smoluchowskiego
(1906) i jak się szybko okazało, było to nie tylko wyjaśnienie tego
konkretnego zjawiska, ale ważki argument za atomową (cząsteczkową)
budową materii. Bezpośrednią konsekwencją odkryć Einsteina i
Smoluchowskiego było zrozumienie mikroskopowego mechanizmu dyfuzji i
błądzenia przypadkowego oraz dostarczenie narzędzi matematycznego opisu
tych zagadnień. Obecnie procesy stochastyczne wykorzystuje się do
modelowania niezwykle wielu zagadnień fizycznych, chemicznych i
technicznych, a także biologicznych, ekologicznych, ekonomicznych i
społecznych. W wykładzie zostanie omówione kilka najciekawszych i
najważniejszych zjawisk wywoływanych przez szumy.
Sto lat teorii ruchów Browna cz.1(2) Akademicka Telewizja Naukowa ATVN
Sto lat teorii ruchów Browna cz.2(2) Akademicka Telewizja Naukowa ATVN
Hipoteza błądzenia losowego (ang. random walk hypothesis) to pojęcie z dziedziny finansów podobne do hipotezy rynku efektywnego,
które mówi, że stopa zwrotu instrumentu finansowego jest generowana
przez proces stochastyczny zwany błądzeniem losowym. Oznacza to, że
stopa zwrotu instrumentu finansowego w przyszłym okresie równa jest
sumie stopy zwrotu z poprzedniego okresu oraz zmiennej losowej o
wartości oczekiwanej równej zero.
Hipoteza błądzenia losowego została po raz pierwszy wysunięta w 1900 roku przez francuskiego ekonomistę Louisa Bacheliera
a rozpropagowane przez Burtona Malkiela w wydanej w 1973 roku książce
zatytułowanej A Random Walk Down Wall Street. Książka ta doczekała się
co najmniej 23 wydań i została również wydana po polsku pod tytułem
Błądząc po Wall Street. Dlaczego nie można wygrać z rynkiem?.
Hipoteza
błądzenia losowego ma również swoich przeciwników. Na przykład Andrew
Lo i Archie MacKinlay wydali książkę zatytułowaną A Non-Random Walk Down
Wall Street, w której podają argumenty przeciwko tej hipotezie.
Błądzenie
losowe to pojęcie z zakresu matematyki i fizyki określające
sformalizowane przedstawienie procesu, polegającego na podejmowaniu
kolejnych kroków, każdy w losowo wybranym kierunku. Błądzenie losowe
jest przykładem prostego procesu stochastycznego.
Własności
Najprostszy przykład błądzenia losowego to ścieżka skonstruowana według następujących zasad:
Istnieje punkt początkowy
Odległość od jednego punktu ścieżki do następnego jest stała
Kierunek
od jednego punktu ścieżki do drugiego jest wybierany losowo i żaden z
kierunków nie jest bardziej prawdopodobny od drugiego
Średnia odległość w linii prostej pomiędzy punktem początkowym i punktem końcowym po n krokach rośnie zgodnie z . Jeśli przez "średnią" będziemy rozumieć średnią kwadratową, wtedy średnia odległość po n krokach wyniesie dokładnie .
Osiem przykładów błądzenia losowego
Wykres przedstawia osiem przykładów błądzenia losowego, każdy o długości 100 kroków. W każdym kroku proces może pójść do góry lub na dół. Można zauważyć, że pozostają one skupione wokół punktu początkowego, a średnia odległość od tego punktu zwiększa się, ale wolniej niż liniowo.
Większa liczba wymiarów
Wyobraźmy sobie osobę w stanie upojenia alkoholowego spacerującą po mieście. Miasto jest nieskończone i całkowicie uporządkowane, a na każdym skrzyżowaniu upojona alkoholem osoba ma do wyboru jedną z czterech dróg (włączając tę, którą przyszedł). Formalnie jest to proces błądzenia losowego na płaszczyźnie o całkowitych współrzędnych. Trajektoria błądzenia losowego to kolekcja miejsc odwiedzonych przez proces, rozważana jako zbiór bez brania pod uwagę kiedy proces osiągnął dany punkt. W jednowymiarowej przestrzeni trajektoria to po prostu wszystkie punkty pomiędzy minimalną wysokością osiągniętą przez proces a maksymalną wysokością (obie rosną średnio zgodnie z ). Przy większej liczbie wymiarów dostajemy dyskretny fraktal, to znaczy zbiór, który w dużej skali wykazuje własność samopodobieństwa, ale w mniejszej skali zobaczymy wpływ siatki, na której odbywa się proces.
Błądzenie losowe na grafie
Przypuśćmy teraz, że nasze miasto nie jest uporządkowane. Kiedy pijak dociera do skrzyżowania, może wybrać jedną z wielu dróg, każdą z jednakowym prawdopodobieństwem. Jeśli ze skrzyżowania wybiega siedem dróg, pijak wybierze każdą z nich z prawdopodobieństwem 1/7. Taki problem nazywamy błądzeniem losowym na grafie. Czy nasz pijak ciągle ma szansę na powrót do domu? Okazuje się, że przy pewnych łagodnych założeniach odpowiedź ciągle brzmi: tak. Na przykład jeśli długość wszystkich bloków pozostanie w przedziale od 10 metrów do 10 kilometrów (albo pomiędzy dwoma innymi dowolnymi liczbami), wtedy pijak prawie na pewno dotrze do domu. Ciekawe jest, że nie zakładamy przy tym, że graf jest planarny, tzn. że w mieście mogą być tunele i mosty. Jeden z dowodów opiera się na związkach z sieciami elektrycznymi. Weźmy mapę miasta i umieśćmy rezystor na każdym bloku. Teraz zmierzmy "opór pomiędzy danym punktem a nieskończonością". Innymi słowy, wybierzmy liczbę R i weźmy wszystkie punkty w sieci elektrycznej odległe o więcej niż R od naszego punktu i połączmy je razem. Mamy skończoną sieć elektryczną i jesteśmy w stanie zmierzyć opór od naszego punktu do połączonych punktów. Zwiększajmy R do nieskończoności. Granicę nazwiemy oporem pomiędzy punktem i nieskończonością.
Okazuje się, że prawdą jest: Twierdzenie: proces błądzenia losowego na grafie posiada stany chwilowe wtedy i tylko wtedy, gdy opór pomiędzy punktem i nieskończonością jest skończony. Nie jest ważne, jaki punkt wybierzemy.
Okazuje się, że taki opis procesów ze stanami chwilowymi i powtarzającymi się jest bardzo wygodny i w szczególnym przypadku pozwala na analizę przypadku miasta na płaszczyźnie z ograniczonymi odległościami.
Nie należy mylić błądzenia losowego na grafie z łańcuchem Markowa. W przeciwieństwie do łańcuchów Markowa, błądzenie losowe na grafie posiada własność symetrii względem czasu lub odwracalności. Oznacza to mniej więcej, że prawdopodobieństwa przejścia danej trasy w jednym lub drugim kierunku są ze sobą w prosty sposób powiązane (jeśli graf jest regularny są po prostu równe). Okazuje się, że ta własność pociąga za sobą ważne konsekwencje.
Źródło: Błądzenie losowe (aktualny wpis na Wikipedii jest szerszy)
Ruchy Browna
Ruchy Browna - chaotyczne ruchy cząstek w płynie (cieczy lub gazie), wywołane zderzeniami zawiesiny z cząsteczkami płynu.
W
1827 roku brytyjski biolog Robert Brown obserwując przez mikroskop
pyłki kwiatowe w zawiesinie wodnej dostrzegł, iż znajdują się one w
nieustannym, chaotycznym ruchu.
Ruchy Browna obserwuje się dla
mikroskopijnych, mniejszych niż mikrometr, cząstek zawiesiny bez względu
na ich rodzaj. Cząsteczki poruszają się ciągle, a ich ruch nie słabnie.
Prędkość ruchu jest większa dla mniejszych cząstek i wyższej
temperatury.
Opis ruchów Browna
Autorami teorii ruchów Browna byli niezależnie Albert Einstein (w 1905 roku) i Marian Smoluchowski (w 1906). Obaj naukowcy zauważyli, że przypadkowe błądzenie pyłków jest wywołane bombardowaniem ich przez cząsteczki wody. Cząsteczki wody są dużo mniejsze, jest ich wiele oraz poruszają się bardzo szybko. Różnice w prędkości ruchu oraz liczby uderzających cząsteczek z poszczególnych stron są przyczyną ruchów drobin pyłku w cieczy. Smoluchowski stwierdził jednak, że za przesunięcia cząsteczek odpowiedzialne jest nie tyle bombardowanie, ile raczej fluktuacje ich gęstości w bezpośrednim sąsiedztwie zawiesiny. Na tej drodze Paul Langevin rozwinął dynamikę stochastyczną.
Matematycznym modelem fizycznego zjawiska ruchów Browna jest proces Wienera, który może być zastosowany do modelowania również w innych dziedzinach wiedzy, np. ekonomii.
W tym miejscu Wikipedia zapomniała o Bachelierze,
który wyprzedził Einsteina o 5 lat. Po raz pierwszy teoria błądzenia losowego cen na
giełdzie - oparta o matematyczny model fizycznych ruchów Browna - pojawiła się w pracy doktorskiej Bacheliera obronionej w
roku 1900. Dopiero później zawitała do świata fizyki, a po pracach Norberta Wienera (1918-1923) i Paula Levy'ego
w końcu lat 30 ubiegłego wieku podbiła świat matematyki (ekonometria).
Jest całkiem pewne, że Einstein nie znał pracy Bacheliera ponieważ jego
wywód nie jest tak elegancki jak wywód Bacheliera. No cóż, Einstein był
dużo lepszym fizykiem niż matematykiem.
Ruchy Browna obserwowano już znacznie wcześniej, co najmniej od roku 1677 (Antony von Leeuwenhoek, ale nie podjął badań). Tłumaczono je pojęciem "siły żywej". W 1827 szkocki biolog Robert Brown
obserwując komórki pyłku kwiatowego również dostrzegł, że cząsteczki
widoczne w płynie wakuoli wykonują chaotyczne ruchy. Nie poprzestał na
tym. Powtórzył obserwacje z użyciem cząstek nieorganicznych. Nadal
obserwował chaotyczne ruchy - hipoteza "siły żywej" upadła. W
kolejnych krokach Brown starał się eliminować wpływ czynników
zewnętrznych na roztwór. Wciąż obserwował nieustanny ruch cząsteczek bez
ładu i składu. Ostateczny wniosek: "ruszają się same z siebie". Brown opublikował wyniki swoich obserwacji:
intensywność ruchów maleje ze wzrostem wielkości cząsteczek
intensywność ruchów rośnie ze wzrostem temperatury
intensywność ruchów maleje ze wzrostem lepkości
Co
było powodem tych ruchów? Przez kolejne prawie 100 lat fizyka usiłowała
znaleźć odpowiedź. Na gruncie znanych wówczas praw termodynamiki nie
dawało się tego wyjaśnić - niemożliwość istnienia perpetuum mobile.
Odpowiedź dali dopiero dwaj fizycy: Einstein (1905) i Smoluchowski
(1906). Materia nie ma charakteru ciągłego. Nie da się jej podzielić na
nieskończenie małe części. Kresem podziału są atomy. To właśnie
zderzenia z atomowymi cząsteczkami wody, których nie mógł dostrzec w
mikroskopie Brown wprawiały w ruch obserwowalne cząsteczki. Einstein i
Smoluchowski wyprowadzili równania pozwalające opisać chaotyczne ruchy
cząstek zawiesiny jako proces błądzenia losowego (założenie:
prawdopodobieństwo uderzenia cząsteczki wody w dowolny punkt cząsteczki
zawiesiny jest takie samo). Wyjaśnienie ruchów Browna stało się dowodem
na atomistyczną budowę świata. Smoluchowski, chyba największy polski
fizyk zmarł w czasie I WŚ tym samym utracił szansę na nagrodę Nobla -
nie jest przyznawana pośmiertnie.
Odnosząc to do rynków finansowych: tak wielkość zlecenia jak i wielkość najmniejszej możliwej zmiany ceny ma skończony wymiar.
Bachelier
badał zachowanie kursów obligacji na giełdzie paryskiej. Po przeanalizowaniu
wieloletnich danych giełdowych stwierdził, że ceny na dużej,
zrównoważonej giełdzie (tj. poza okresami paniki lub euforii) zachowują
się podobnie jak cząsteczki obserwowane przez Browna. Położenie
cząsteczki jest kursem, a zderzeniami są niezależne oferty
kupna-sprzedaży tysięcy graczy.
Prawdopodobnie pierwszą próbę wyjaśnienia zmian cen na giełdzie w oparciu o rachunek prawdopodobieństwa odnajdziemy w pracy Jules'a Regnaulta (1834-1894) z 1863 "Rachunek prawdopodobieństwa i filozofia giełdy". Początkowo autorstwo przypisywano Jeanowi Josephowi Regnaultowi (1797-1863), który część swoich prac sygnował podpisem J. Regnault. Obaj panowie nie byli spokrewnieni.
Trzeba pamiętać, że rachunek prawdopodobieństwa (wynik zależny od
przypadku) wyrósł na gruncie badań nad hazardem. Takie skojarzenie
skutecznie hamowało zastosowanie rachunku prawdopodobieństwa w badaniach
nad finansami. Trzeba też pamiętać, że po doświadczeniach banki
spekulacyjnej Compagnie du Mississippi wprowadzono na giełdzie paryskiej
w 1724 restrykcyjne prawo dotyczące pozyskiwania kapitału przez
prywatne przedsiębiorstwa. Rozluźnienie przepisów przyszło dopiero w II
połowie XIX wieku. W 1850 roku na giełdzie paryskiej notowano 197
tytułów, w roku 1900 już 1000. Dyskusja nad przydatnością giełdy dla
gospodarki rozbudziła zapotrzebowanie na wyjaśnienie zjawisk na niej
zachodzących.
Regnault porównał grę na giełdzie do rzutu monetą
gdzie przyszłe ceny nie są zależne od przeszłych. Przyjął, że cena w
danej chwili stanowi punkt równowagi pomiędzy kupującymi i
sprzedającymi. Prawdopodobieństwo wzrostu (ruch w górę) jak i spadku
(ruch w dół) w każdej chwili jest jednakowe i wynosi dokładnie 1/2.
Uzasadnił to prosto: gdyby wszyscy byli jednakowego zdania handel nie
byłby możliwy. "Właściwą cenę" na giełdzie stanowi średnia
długoterminowa. Krótkoterminowe odchylenia powodowane są niepełnymi
informacjami i różną ich interpretacją. Przy braku nowych informacji
krótkoterminowe odchylenia układają się wokół średniej zgodnie z
rozkładem normalnym. Krótkoterminowa spekulacja jest grą w orła i reszkę
(pojęcie mniej drażliwe dla finansowych uszu - błądzenie losowe -
pojawiło się dopiero w 1905 roku w pracy Karla Pearsona), tym samym
niemożliwe jest osiąganie dodatkowych zysków ze spekulacji.
Regnault
zbiór możliwych cen przedstawił w postaci okręgu. Środek okręgu możemy
zinterpretować jako średnią, a średnicę jako odchylenie. Jeżeli w
okresie czasu t zbiór wszystkich możliwych cen z tego okresu
reprezentuje okrąg o średnicy x to jaki okrąg będzie zbiorem wszystkich
możliwych cen w przyszłości z czasu 2t - 2x dłuższego? Po gruntownym
przeanalizowaniu zmian cen z lat 1825-1862 głównie obligacji Regnault
dał odpowiedź: nie będzie to okręg o średnicy 2x, ale okręg o średnicy
1,41x. W ten sposób sformułował związek pomiędzy czasem, a możliwą
zmianą ceny - prawo odchyleń "loi des écarts" - ceny zmieniają się
proporcjonalnie do pierwiastka z czasu. W 2x razy dłuższym czasie pole
okręgu (zbiór możliwych cen) będzie 2x większe. Pole powierzchni jest
proporcjonalne do czasu - rośnie liniowo. Regnault pisał: "odchylenie
standardowe z dużej liczby operacji, jest wprost proporcjonalne do
pierwiastka kwadratowego czasu" ("l'ecart des cours est en raison
directe de la racine carree des temps"). Przykładowo: jeżeli w okresie t
ceny zmieniają się od 0 do 100 to w okresie 2x dłuższym będą mogły
zminiać się od 0 do 141. Wraz z wydłużaniem okresu ceny mogą "odchodzić"
od średniej dalej i dalej.
Patrząc współczesnym okiem nie jest
to dobra informacją dla grających krótkoterminowo - ryzyko (mierzone
odchyleniem) spada szybciej niż długość okresu - im w dłuższym
horyzoncie czasowym gramy tym mniejsze ponosimy ryzyko o kosztach nie
wspomając.
Jest też dobra informacja. Kiedy w 1860 Regnault razem z
bratem sprowadzili się do Paryża nie byli bogaci. Bracia trudnili się
brokerką. W 1881 Regnault porzucił brokerkę i został rentierem. Kiedy w
1894 zmarł jego fortunę wyceniono na milion franków. Podstawę fortuny
stanowiły obligacje.
W tamtych czasach poważny inwestor inwestował w obligacje. Akcje i
podobne instrumenty były postrzegane jako "zabawa" dla spekulantów.
Graficzne przedstawienie zmian cen obligacji angielskich i francuskich w pracy Regnaulta
Praca
Regnaulta promująca giełdę dobrze wpisała się w swoją epokę. Pokazała,
że ceny na giełdzie w długim okresie nie poddają się spekulacji - giełda
jest dobrym miejscem tak dla pozyskania jak i lokowania kapitału, a
krótkoterminowy arbitraż cenowy nie przynosi zysków spekulantom -
spekulacja nie ma sensu. Regnault jako okres krótki rozumiał miesiąc lub
krócej.
Współczesny "badacz" kręgów
Epilog
W
1926 roku młody człowiek Alfred Cowles rozpoczął badania nad
"przydatnością" giełdowych "guru". W 1933 opublikował wyniki - negatywne.
Cowles przekonał się, że nawet najlepszy "guru" nie osiągnął wyniku
lepszego niż ktoś kto kupował na chybił trafił.
W roku 1971
firma Samsonite jako pierwsza zaindexowała część swoich inwestycji
emerytalnych. W roku 1991 firma PP&G - gigant w produkcji szkła -
wyrzuciła wszystkich "guru" zarządzających aktywami firmy i zaindexowała
cały ten interes. Droga od teorii do praktyki trwała dość długo.
No tak. To chyba pierwsza wzmianka o pracy Regnult'a w polskim internecie. Mój wkład w rozwój polskiego rynku kapitałowego.
Uzupełnienie styczeń 2021
Dwa lata po moim wpisie ukazała się doskonała praca Rafała Buły (Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach):
Bachelier
w swojej pracy nie powołał się na pracę Regnaulta i nie wiadomo czy ją
znał (nie powołał się zresztą na żadne inne źródło)[1]. Model Bacheliera
jest matematycznym uogólnieniem obserwacji Regnaulta. Bachelier pisał:
"W przypadku spekulacji nadzieja matematyczna jest równa zero"
("L'Esperance mathematique du spéculateur est nulle"). Nadzieja
matematyczna to wartość oczekiwana - w rachunku prawdopodobieństwa
spodziewany wynik doświadczenia losowego.
Odwołując się do
geometrycznych obserwacji Regnaulta. Stawiamy zatemperowany ołówek w
środku okręgu. Możemy przewidzieć obszar, w którym upadnie ołówek
(zmienność), ale nie jesteśmy w stanie przewidzieć kierunku upadku
(ceny). Każdy kierunek jest równie prawdopodobny. Wynik sumy uzyskanych
odchyleń od środka z serii takich spekulacyjnych eksperymentów z ołówkiem
będzie zmierzał do zera. W wyniku serii spekulacji ostatecznie nie
uzyskamy więcej niż to co daje rynek reprezentowany przez środek okręgu
(średnia rynkowa).
Cała późniejsza matematyka finansowa to w
zasadzie poszukiwanie gdzie jest środek okręgu oraz jaki kształt ma
obszar dopuszczalnych wyników łącznie z przeniesieniem całego problemu w
przestrzeń wielowymiarową.
Jak do tej pory nadzieja matematyczna tych poszukiwań również zmierza do zera.
Skoro
wg. Bacheliera wynik spekulacji może prowadzić jedynie do zera (o
kosztach nie wspominając) nie jest dziwne, że jego nazwiska nie znajdziecie
na stronach firm zarządzających aktywnie pieniędzmi czy oferujących
zawieranie transakcji na rynkach finansowych, ani w literaturze ani na
szkoleniach o tematyce "500 powodów do otwarcia zlecenia" czytaj
"pobrania prowizji".
Biorę z półki akademicki podręcznik
"Teoria nowoczesnego inwestowania". Nie ma w nim słowa o Bachelierze. Na
końcu czytam: "Niełatwo jest prześcignąć rynek, ale okazuje się, że
przy odrobinie dobrych chęci jet to możliwe". Mimo upływu ponad 100 lat
autor nadal ma obawy przed napisaniem "odrobinie szczęścia". Biznes
finansowy nie płaci za pisanie "herezji"?
Jak wyścigi konne stworzyły rynek opcji
Pisząc
swoją pracę Bachelier obok dzieła Regnaulta mógł się powołać na jeszcze
jedno opracowanie. Bachelier oprócz teorii ruchów cen na giełdzie
poruszył również temat wyceny opcji - ile warta jest opcja w sytuacji
kiedy nie znamy i nie możemy skutecznie przewidzieć przyszłej ceny
akcji.
W roku 1870 (roku urodzin Bacheliera) Henri Lefevre były
osobisty sekretarz barona Jamesa Rothschilda opracował graficzny sposób
prezentacji wyceny opcji - ten sam sposób odnajdziecie w pracy Bacheliera
- jest on stosowany w podręcznikach do dziś. Lefevre w oparciu o
maszynę służącą do obliczania zakładów na wyścigach konnych skonstruował
drewniane "liczydło" z ruchomymi elementami do wyznaczania wartości
dowolnej opcji [2]. Przejście konia przez celownik jest tym samym co
wygaśniecie opcji - strata jest znana z góry, zysk może być teoretycznie
nieograniczony... . Pewnie współcześni gracze rynku opcji nie mają pojęcia, że grają "w konie".
Epilog
Pierwsze wzmianki o opcjach znajdziemy w pierwszej książce o giełdzie "Confusion de Confusiones"
z 1688 roku (tłumaczenie na angielski 1957). Już wtedy handlowano
opcjami jak i opcjami na opcje. Na cześć autora od 2000 roku Feredracja Europejskich Giełd Papierów Wartościowych przyznaje nagrodę "De La Vega Prize". Jakże proroczy tytuł dla książki o giełdzie - "Poplątanie z pomięszaniem". Zasady zawarte w pracy pozostały aktualne po dziś dzień.
Przełomem
dla teorii wyceny opcji stała się praca Bacheliera z 1900 roku. W 1908
roku Vinzenz Bronzin z Triestu napisał "Teorię opcji". Facet kompletnie
zapomniany jak i jego dzieło napisane po niemiecku. Dopiero niedawno
nastąpiło tłumaczenie na angielski. W świecie anglosaskim historia
wszystkiego zaczyna się od "wersji angielskiej".
Kiedy
przeprowadzono eksperyment polegający na wyrysowaniu układu
sąsiadujących ze sobą białych i czarnych pól, który miał być
wyobrażeniem błądzenia losowego zaledwie 2% badanych potrafiło to zrobić
poprawnie. Nie wiadomo ile z tych poprawnych odpowiedzi było dziełem
świadomym, a ile dziełem przypadku. Przeciętny człowiek nie odróżnia
tego co losowe od tego co nie jest losowe. Tą wolną przestrzeń
zagospodarowała analiza techniczna - zawsze coś "wypatrzy".
Weźcie
kartkę papieru w kratkę i pole 10x10 kratek pokolorujcie waszym
wyobrażeniem błądzenia losowego tak aby połowa pól pozostała biała. Jak
to zrobicie porównajcie z układem róż widocznym w tle na teledysku.
Białe róże ...
[1] W roku 2011 kiedy powstał wpis panował pogląd, że Bachelier nie znał pracy Regnaulta. Obecnie (2021) dominuje pogląd odwrotny.
[2] Zapewne w akapicie jest mowa o opcjach określanych dziś terminem opcji europejskich czyli mających w przyszłości jeden z góry określony termin realizacji (wygaśnięcia). W odróżnieniu opcje amerykańskie mogą być zrealizowane w dowolnym czasie przed terminem wygaśnięcia. W skrajnym przypadku termin ten może być nieskończenie odległy co odpowiada opcji nigdy nie wygasającej.
. Jeśli przez "średnią" będziemy rozumieć 
