# Hipoteza błądzenia losowego na forexie

Hipoteza błądzenia losowego

Hipoteza błądzenia losowego (ang. random walk hypothesis) to pojęcie z dziedziny finansów podobne do hipotezy rynku efektywnego, które mówi, że stopa zwrotu instrumentu finansowego jest generowana przez proces stochastyczny zwany błądzeniem losowym. Oznacza to, że stopa zwrotu instrumentu finansowego w przyszłym okresie równa jest sumie stopy zwrotu z poprzedniego okresu oraz zmiennej losowej o wartości oczekiwanej równej zero.

Hipoteza błądzenia losowego została po raz pierwszy wysunięta w 1900 roku przez francuskiego ekonomistę Louisa Bacheliera a rozpropagowane przez Burtona Malkiela w wydanej w 1973 roku książce zatytułowanej A Random Walk Down Wall Street. Książka ta doczekała się co najmniej 23 wydań i została również wydana po polsku pod tytułem Błądząc po Wall Street. Dlaczego nie można wygrać z rynkiem?.

Hipoteza błądzenia losowego ma również swoich przeciwników. Na przykład Andrew Lo i Archie MacKinlay wydali książkę zatytułowaną A Non-Random Walk Down Wall Street, w której podają argumenty przeciwko tej hipotezie.

Źródło: Hipoteza błądzenia losowego

Do poczytania:
Burton Malkiel - Błądząc po Wall Street. Dlaczego nie można wygrać z rynkiem?

Błądzenie losowe

Błądzenie losowe to pojęcie z zakresu matematyki i fizyki określające sformalizowane przedstawienie procesu, polegającego na podejmowaniu kolejnych kroków, każdy w losowo wybranym kierunku. Błądzenie losowe jest przykładem prostego procesu stochastycznego.

Własności

Najprostszy przykład błądzenia losowego to ścieżka skonstruowana według następujących zasad: 

• Istnieje punkt początkowy
• Odległość od jednego punktu ścieżki do następnego jest stała
• Kierunek od jednego punktu ścieżki do drugiego jest wybierany losowo i żaden z kierunków nie jest bardziej prawdopodobny od drugiego

Średnia odległość w linii prostej pomiędzy punktem początkowym i punktem końcowym po n krokach rośnie zgodnie z . Jeśli przez "średnią" będziemy rozumieć średnią kwadratową, wtedy średnia odległość po n krokach wyniesie dokładnie .

Osiem przykładów błądzenia losowego

Wykres przedstawia osiem przykładów błądzenia losowego, każdy o długości 100 kroków. W każdym kroku proces może pójść do góry lub na dół. Można zauważyć, że pozostają one skupione wokół punktu początkowego, a średnia odległość od tego punktu zwiększa się, ale wolniej niż liniowo.

Większa liczba wymiarów

Wyobraźmy sobie osobę w stanie upojenia alkoholowego spacerującą po mieście. Miasto jest nieskończone i całkowicie uporządkowane, a na każdym skrzyżowaniu upojona alkoholem osoba ma do wyboru jedną z czterech dróg (włączając tę, którą przyszedł). Formalnie jest to proces błądzenia losowego na płaszczyźnie o całkowitych współrzędnych.
Trajektoria błądzenia losowego to kolekcja miejsc odwiedzonych przez proces, rozważana jako zbiór bez brania pod uwagę kiedy proces osiągnął dany punkt. W jednowymiarowej przestrzeni trajektoria to po prostu wszystkie punkty pomiędzy minimalną wysokością osiągniętą przez proces a maksymalną wysokością (obie rosną średnio zgodnie z ). Przy większej liczbie wymiarów dostajemy dyskretny fraktal, to znaczy zbiór, który w dużej skali wykazuje własność samopodobieństwa, ale w mniejszej skali zobaczymy wpływ siatki, na której odbywa się proces.

Błądzenie losowe na grafie

Przypuśćmy teraz, że nasze miasto nie jest uporządkowane. Kiedy pijak dociera do skrzyżowania, może wybrać jedną z wielu dróg, każdą z jednakowym prawdopodobieństwem. Jeśli ze skrzyżowania wybiega siedem dróg, pijak wybierze każdą z nich z prawdopodobieństwem 1/7. Taki problem nazywamy błądzeniem losowym na grafie. Czy nasz pijak ciągle ma szansę na powrót do domu? Okazuje się, że przy pewnych łagodnych założeniach odpowiedź ciągle brzmi: tak. Na przykład jeśli długość wszystkich bloków pozostanie w przedziale od 10 metrów do 10 kilometrów (albo pomiędzy dwoma innymi dowolnymi liczbami), wtedy pijak prawie na pewno dotrze do domu. Ciekawe jest, że nie zakładamy przy tym, że graf jest planarny, tzn. że w mieście mogą być tunele i mosty. Jeden z dowodów opiera się na związkach z sieciami elektrycznymi. Weźmy mapę miasta i umieśćmy rezystor na każdym bloku. Teraz zmierzmy "opór pomiędzy danym punktem a nieskończonością". Innymi słowy, wybierzmy liczbę R i weźmy wszystkie punkty w sieci elektrycznej odległe o więcej niż R od naszego punktu i połączmy je razem. Mamy skończoną sieć elektryczną i jesteśmy w stanie zmierzyć opór od naszego punktu do połączonych punktów. Zwiększajmy R do nieskończoności. Granicę nazwiemy oporem pomiędzy punktem i nieskończonością.

Okazuje się, że prawdą jest:
Twierdzenie: proces błądzenia losowego na grafie posiada stany chwilowe wtedy i tylko wtedy, gdy opór pomiędzy punktem i nieskończonością jest skończony. Nie jest ważne, jaki punkt wybierzemy.

Okazuje się, że taki opis procesów ze stanami chwilowymi i powtarzającymi się jest bardzo wygodny i w szczególnym przypadku pozwala na analizę przypadku miasta na płaszczyźnie z ograniczonymi odległościami.

Nie należy mylić błądzenia losowego na grafie z łańcuchem Markowa. W przeciwieństwie do łańcuchów Markowa, błądzenie losowe na grafie posiada własność symetrii względem czasu lub odwracalności. Oznacza to mniej więcej, że prawdopodobieństwa przejścia danej trasy w jednym lub drugim kierunku są ze sobą w prosty sposób powiązane (jeśli graf jest regularny są po prostu równe). Okazuje się, że ta własność pociąga za sobą ważne konsekwencje. 

Źródło: Błądzenie losowe  (aktualny wpis na Wikipedii jest szerszy)

Ruchy Browna

Ruchy Browna - chaotyczne ruchy cząstek w płynie (cieczy lub gazie), wywołane zderzeniami zawiesiny z cząsteczkami płynu.

W 1827 roku brytyjski biolog Robert Brown obserwując przez mikroskop pyłki kwiatowe w zawiesinie wodnej dostrzegł, iż znajdują się one w nieustannym, chaotycznym ruchu.

Ruchy Browna obserwuje się dla mikroskopijnych, mniejszych niż mikrometr, cząstek zawiesiny bez względu na ich rodzaj. Cząsteczki poruszają się ciągle, a ich ruch nie słabnie. Prędkość ruchu jest większa dla mniejszych cząstek i wyższej temperatury.

Opis ruchów Browna

Autorami teorii ruchów Browna byli niezależnie Albert Einstein (w 1905 roku) i Marian Smoluchowski (w 1906). Obaj naukowcy zauważyli, że przypadkowe błądzenie pyłków jest wywołane bombardowaniem ich przez cząsteczki wody. Cząsteczki wody są dużo mniejsze, jest ich wiele oraz poruszają się bardzo szybko. Różnice w prędkości ruchu oraz liczby uderzających cząsteczek z poszczególnych stron są przyczyną ruchów drobin pyłku w cieczy. Smoluchowski stwierdził jednak, że za przesunięcia cząsteczek odpowiedzialne jest nie tyle bombardowanie, ile raczej fluktuacje ich gęstości w bezpośrednim sąsiedztwie zawiesiny. Na tej drodze Paul Langevin rozwinął dynamikę stochastyczną.

Matematycznym modelem fizycznego zjawiska ruchów Browna jest proces Wienera, który może być zastosowany do modelowania również w innych dziedzinach wiedzy, np. ekonomii. 

 Przykłady ruchów Browna

Ruchy Browna można zaobserwować np. w przypadku

• drobin tłuszczu w mleku
• pyłków kwiatowych w wodzie
• drobin pigmentu w rozpuszczalniku

Źródło: Ruchy Browna
 

Do poczytania:
Marian Smoluchowski :

O fluktuacyach termodynamicznych i ruchach Browna

 

Marian Smoluchowski

Kto był pierwszy

W tym miejscu Wikipedia zapomniała o Bachelierze, który wyprzedził Einsteina o 5 lat. Po raz pierwszy teoria błądzenia losowego cen na giełdzie  - oparta o matematyczny model fizycznych ruchów Browna - pojawiła się w pracy doktorskiej Bacheliera obronionej w roku 1900. Dopiero później zawitała do świata fizyki, a po pracach Norberta Wienera (1918-1923) i Paula Levy'ego w końcu lat 30 ubiegłego wieku podbiła świat matematyki (ekonometria). Jest całkiem pewne, że Einstein nie znał pracy Bacheliera ponieważ jego wywód nie jest tak elegancki jak wywód Bacheliera. No cóż, Einstein był dużo lepszym fizykiem niż matematykiem.

Biografia:
Louis Bachelier - Teoria spekulacji - nie tylko na forexie

O co chodzi z tymi ruchami

Ruchy Browna obserwowano już znacznie wcześniej, co najmniej od roku 1677 (Antony von Leeuwenhoek, ale nie podjął badań). Tłumaczono je pojęciem "siły żywej". W 1827 szkocki biolog Robert Brown obserwując komórki pyłku kwiatowego również dostrzegł, że cząsteczki widoczne w płynie wakuoli wykonują chaotyczne ruchy. Nie poprzestał na tym. Powtórzył obserwacje z użyciem cząstek nieorganicznych. Nadal obserwował chaotyczne ruchy - hipoteza "siły żywej" upadła. W kolejnych krokach Brown starał się eliminować wpływ czynników zewnętrznych na roztwór. Wciąż obserwował nieustanny ruch cząsteczek bez ładu i składu. Ostateczny wniosek: "ruszają się same z siebie". Brown opublikował wyniki swoich obserwacji: 

• intensywność ruchów maleje ze wzrostem wielkości cząsteczek
• intensywność ruchów rośnie ze wzrostem temperatury
• intensywność ruchów maleje ze wzrostem lepkości

Co było powodem tych ruchów? Przez kolejne prawie 100 lat fizyka usiłowała znaleźć odpowiedź. Na gruncie znanych wówczas praw termodynamiki nie dawało się tego wyjaśnić - niemożliwość istnienia perpetuum mobile. Odpowiedź dali dopiero dwaj fizycy: Einstein (1905) i Smoluchowski (1906). Materia nie ma charakteru ciągłego. Nie da się jej podzielić na nieskończenie małe części. Kresem podziału są atomy. To właśnie zderzenia z atomowymi cząsteczkami wody, których nie mógł dostrzec w mikroskopie Brown wprawiały w ruch obserwowalne cząsteczki. Einstein i Smoluchowski wyprowadzili równania pozwalające opisać chaotyczne ruchy cząstek zawiesiny jako proces błądzenia losowego (założenie: prawdopodobieństwo uderzenia cząsteczki wody w dowolny punkt cząsteczki zawiesiny jest takie samo). Wyjaśnienie ruchów Browna stało się dowodem na atomistyczną budowę świata. Smoluchowski, chyba największy polski fizyk zmarł w czasie I WŚ tym samym utracił szansę na nagrodę Nobla - nie jest przyznawana pośmiertnie.
 
Odnosząc to do rynków finansowych: tak wielkość zlecenia jak i wielkość najmniejszej możliwej zmiany ceny ma skończony wymiar.
 
Bachelier badał zachowanie kursów obligacji na giełdzie paryskiej. Po przeanalizowaniu wieloletnich danych giełdowych stwierdził, że ceny na dużej, zrównoważonej giełdzie (tj. poza okresami paniki lub euforii) zachowują się podobnie jak cząsteczki obserwowane przez Browna. Położenie cząsteczki jest kursem, a zderzeniami są niezależne oferty kupna-sprzedaży tysięcy graczy.

Do obejrzenia:
Wykład - Sto lat teorii ruchów Browna

 

O co chodzi z tym błądzeniem

 
Prawdopodobnie pierwszą próbę wyjaśnienia zmian cen na giełdzie w oparciu o rachunek prawdopodobieństwa odnajdziemy w pracy Jules'a Regnaulta (1834-1894) z 1863 "Rachunek prawdopodobieństwa i filozofia giełdy". Początkowo autorstwo przypisywano Jeanowi Josephowi Regnaultowi (1797-1863), który część swoich prac sygnował podpisem J. Regnault. Obaj panowie nie byli spokrewnieni.

 

Trzeba pamiętać, że rachunek prawdopodobieństwa (wynik zależny od przypadku) wyrósł na gruncie badań nad hazardem. Takie skojarzenie skutecznie hamowało zastosowanie rachunku prawdopodobieństwa w badaniach nad finansami. Trzeba też pamiętać, że po doświadczeniach banki spekulacyjnej Compagnie du Mississippi wprowadzono na giełdzie paryskiej w 1724 restrykcyjne prawo dotyczące pozyskiwania kapitału przez prywatne przedsiębiorstwa. Rozluźnienie przepisów przyszło dopiero w II połowie XIX wieku. W 1850 roku na giełdzie paryskiej notowano 197 tytułów, w roku 1900 już 1000. Dyskusja nad przydatnością giełdy dla gospodarki rozbudziła zapotrzebowanie na wyjaśnienie zjawisk na niej zachodzących.
 
Regnault porównał grę na giełdzie do rzutu monetą gdzie przyszłe ceny nie są zależne od przeszłych. Przyjął, że cena w danej chwili stanowi punkt równowagi pomiędzy kupującymi i sprzedającymi. Prawdopodobieństwo wzrostu (ruch w górę) jak i spadku (ruch w dół) w każdej chwili jest jednakowe i wynosi dokładnie 1/2. Uzasadnił to prosto: gdyby wszyscy byli jednakowego zdania handel nie byłby możliwy. "Właściwą cenę" na giełdzie stanowi średnia długoterminowa. Krótkoterminowe odchylenia powodowane są niepełnymi informacjami i różną ich interpretacją. Przy braku nowych informacji krótkoterminowe odchylenia układają się wokół średniej zgodnie z rozkładem normalnym. Krótkoterminowa spekulacja jest grą w orła i reszkę (pojęcie mniej drażliwe dla finansowych uszu - błądzenie losowe - pojawiło się dopiero w 1905 roku w pracy Karla Pearsona), tym samym niemożliwe jest osiąganie dodatkowych zysków ze spekulacji.
 
Regnault zbiór możliwych cen przedstawił w postaci okręgu. Środek okręgu możemy zinterpretować jako średnią, a średnicę jako odchylenie. Jeżeli w okresie czasu t zbiór wszystkich możliwych cen z tego okresu reprezentuje okrąg o średnicy x to jaki okrąg będzie zbiorem wszystkich możliwych cen w przyszłości z czasu 2t - 2x dłuższego? Po gruntownym przeanalizowaniu zmian cen z lat 1825-1862 głównie obligacji Regnault dał odpowiedź: nie będzie to okręg o średnicy 2x, ale okręg o średnicy 1,41x. W ten sposób sformułował związek pomiędzy czasem, a możliwą zmianą ceny - prawo odchyleń "loi des écarts" - ceny zmieniają się proporcjonalnie do pierwiastka z czasu. W 2x razy dłuższym czasie pole okręgu (zbiór możliwych cen) będzie 2x większe. Pole powierzchni jest proporcjonalne do czasu - rośnie liniowo. Regnault pisał:  "odchylenie standardowe z dużej liczby operacji, jest wprost proporcjonalne do pierwiastka kwadratowego czasu" ("l'ecart des cours est en raison directe de la racine carree des temps"). Przykładowo: jeżeli w okresie t ceny zmieniają się od 0 do 100 to w okresie 2x dłuższym będą mogły zminiać się od 0 do 141. Wraz z wydłużaniem okresu ceny mogą "odchodzić" od średniej dalej i dalej.
 
Patrząc współczesnym okiem nie jest to dobra informacją dla grających krótkoterminowo - ryzyko (mierzone odchyleniem) spada szybciej niż długość okresu - im w dłuższym horyzoncie czasowym gramy tym mniejsze ponosimy ryzyko o kosztach nie wspomając.
 
Jest też dobra informacja. Kiedy w 1860 Regnault razem z bratem sprowadzili się do Paryża nie byli bogaci. Bracia trudnili się brokerką. W 1881 Regnault porzucił brokerkę i został rentierem. Kiedy w 1894 zmarł jego fortunę wyceniono na milion franków. Podstawę fortuny stanowiły obligacje. W tamtych czasach poważny inwestor inwestował w obligacje. Akcje i podobne instrumenty były postrzegane jako "zabawa" dla spekulantów.

 

Graficzne przedstawienie zmian cen obligacji angielskich i francuskich w pracy Regnaulta

Praca Regnaulta promująca giełdę dobrze wpisała się w swoją epokę. Pokazała, że ceny na giełdzie w długim okresie nie poddają się spekulacji - giełda jest dobrym miejscem tak dla pozyskania jak i lokowania kapitału, a krótkoterminowy arbitraż cenowy nie przynosi zysków spekulantom - spekulacja nie ma sensu. Regnault jako okres krótki rozumiał miesiąc lub krócej.

 

Współczesny "badacz" kręgów

Epilog

 

W 1926 roku młody człowiek Alfred Cowles rozpoczął badania nad "przydatnością" giełdowych "guru". W 1933 opublikował wyniki - negatywne. Cowles przekonał się, że nawet najlepszy "guru" nie osiągnął wyniku lepszego niż ktoś kto kupował na chybił trafił.
 
W roku 1971 firma Samsonite jako pierwsza zaindexowała część swoich inwestycji emerytalnych. W roku 1991 firma PP&G - gigant w produkcji szkła - wyrzuciła wszystkich "guru" zarządzających aktywami firmy i zaindexowała cały ten interes. Droga od teorii do praktyki trwała dość długo.

No tak. To chyba pierwsza wzmianka o pracy Regnult'a w polskim internecie. Mój wkład w rozwój polskiego rynku kapitałowego.

 

Uzupełnienie styczeń 2021

Dwa lata po moim wpisie ukazała się doskonała praca Rafała Buły (Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach):

O teorii spekulacji i inwestycji Julesa Regnaulta 

Uogólnienie błądzenia losowego

Bachelier w swojej pracy nie powołał się na pracę Regnaulta i nie wiadomo czy ją znał (nie powołał się zresztą na żadne inne źródło)[1]. Model Bacheliera jest matematycznym uogólnieniem obserwacji Regnaulta. Bachelier pisał: "W przypadku spekulacji nadzieja matematyczna jest równa zero" ("L'Esperance mathematique du spéculateur est nulle"). Nadzieja matematyczna to wartość oczekiwana - w rachunku prawdopodobieństwa spodziewany wynik doświadczenia losowego. 

Odwołując się do geometrycznych obserwacji Regnaulta. Stawiamy zatemperowany ołówek w środku okręgu. Możemy przewidzieć obszar, w którym upadnie ołówek (zmienność), ale nie jesteśmy w stanie przewidzieć kierunku upadku (ceny). Każdy kierunek jest równie prawdopodobny. Wynik sumy uzyskanych odchyleń od środka z serii takich spekulacyjnych eksperymentów z ołówkiem będzie zmierzał do zera. W wyniku serii spekulacji ostatecznie nie uzyskamy więcej niż to co daje rynek reprezentowany przez środek okręgu (średnia rynkowa).
 
Cała późniejsza matematyka finansowa to w zasadzie poszukiwanie gdzie jest środek okręgu oraz jaki kształt ma obszar dopuszczalnych wyników łącznie z przeniesieniem całego problemu w przestrzeń wielowymiarową.
 
Jak do tej pory nadzieja matematyczna tych poszukiwań również zmierza do zera.
 
Skoro wg. Bacheliera wynik spekulacji może prowadzić jedynie do zera (o kosztach nie wspominając) nie jest dziwne, że jego nazwiska nie znajdziecie na stronach firm zarządzających aktywnie pieniędzmi czy oferujących zawieranie transakcji na rynkach finansowych, ani w literaturze ani na szkoleniach o tematyce "500 powodów do otwarcia zlecenia" czytaj "pobrania prowizji". 
 
Biorę z półki akademicki podręcznik "Teoria nowoczesnego inwestowania". Nie ma w nim słowa o Bachelierze. Na końcu czytam: "Niełatwo jest prześcignąć rynek, ale okazuje się, że przy odrobinie dobrych chęci jet to możliwe". Mimo upływu ponad 100 lat autor nadal ma obawy przed napisaniem "odrobinie szczęścia". Biznes finansowy nie płaci za pisanie "herezji"? 

Jak wyścigi konne stworzyły rynek opcji

 
Pisząc swoją pracę Bachelier obok dzieła Regnaulta mógł się powołać na jeszcze jedno opracowanie. Bachelier oprócz teorii ruchów cen na giełdzie poruszył również temat wyceny opcji - ile warta jest opcja w sytuacji kiedy nie znamy i nie możemy skutecznie przewidzieć przyszłej ceny akcji.
 
W roku 1870 (roku urodzin Bacheliera) Henri Lefevre były osobisty sekretarz barona Jamesa Rothschilda opracował graficzny sposób prezentacji wyceny opcji - ten sam sposób odnajdziecie w pracy Bacheliera - jest on stosowany w podręcznikach do dziś. Lefevre w oparciu o maszynę służącą do obliczania zakładów na wyścigach konnych skonstruował drewniane "liczydło" z ruchomymi elementami do wyznaczania wartości dowolnej opcji [2]. Przejście konia przez celownik jest tym samym co wygaśniecie opcji - strata jest znana z góry, zysk może być teoretycznie nieograniczony... . Pewnie współcześni gracze rynku opcji nie mają pojęcia, że grają "w konie". 
 

Epilog

 
Pierwsze wzmianki o opcjach znajdziemy w pierwszej książce o giełdzie "Confusion de Confusiones" z 1688 roku (tłumaczenie na angielski 1957). Już wtedy handlowano opcjami jak i opcjami na opcje. Na cześć autora od 2000 roku Feredracja Europejskich Giełd Papierów Wartościowych przyznaje nagrodę "De La Vega Prize". Jakże proroczy tytuł dla książki o giełdzie - "Poplątanie z pomięszaniem". Zasady zawarte w pracy pozostały aktualne po dziś dzień.

Przełomem dla teorii wyceny opcji stała się praca Bacheliera z 1900 roku. W 1908 roku Vinzenz Bronzin z Triestu napisał "Teorię opcji". Facet kompletnie zapomniany jak i jego dzieło napisane po niemiecku. Dopiero niedawno nastąpiło tłumaczenie na angielski. W świecie anglosaskim historia wszystkiego zaczyna się od "wersji angielskiej".
 
W roku 1932 Alfred Cowles powołał do życia fundację "Komisję Cowlesa d/s badań ekonomicznych" z siedzibą w Colorado Springs. Równolegle wspierał finansowo powstałe 1930 roku "Towarzystwo Ekonometryczne" i wydawane przez nie od 1933 czasopismo "Econometrica". W  1939 roku Komisja przeniosła się na uniwersytet w Chicago. Badania mogły ruszyć z kopyta. Jej członek 25letni Harry Markowitz w 1952 roku nakreślił "Dobór portfela".

Jak odwzorować błądzenie losowe

 
Kiedy przeprowadzono eksperyment polegający na wyrysowaniu układu sąsiadujących ze sobą białych i czarnych pól, który miał być wyobrażeniem błądzenia losowego zaledwie 2% badanych potrafiło to zrobić poprawnie. Nie wiadomo ile z tych poprawnych odpowiedzi było dziełem świadomym, a ile dziełem przypadku. Przeciętny człowiek nie odróżnia tego co losowe od tego co nie jest losowe. Tą wolną przestrzeń zagospodarowała analiza techniczna - zawsze coś "wypatrzy".
 
Weźcie kartkę papieru w kratkę i pole 10x10 kratek pokolorujcie waszym wyobrażeniem błądzenia losowego tak aby połowa pól pozostała biała. Jak to zrobicie porównajcie z układem róż widocznym w tle na teledysku. Białe róże ...

Дилайс Белые розы

Wykresy losowe jak żywe made in użytkownik eterchi
Ku mojemu zdumieniu - wykres losowy na forexie 
 
Zbiór nieprawidłowości w postrzeganiu losowości
Błędy w przekonaniach i ocenie prawdopodobieństwa na forexie 
 
Wzory, których nie ma
Iluzja grupowania na forexie - szukania wzorców tam gdzie ich nie ma

_______________________________

[1] W roku 2011 kiedy powstał wpis panował pogląd, że Bachelier nie znał pracy Regnaulta. Obecnie (2021) dominuje pogląd odwrotny.

[2] Zapewne w akapicie jest mowa o opcjach określanych dziś terminem opcji europejskich czyli mających w przyszłości jeden z góry określony termin realizacji (wygaśnięcia). W odróżnieniu opcje amerykańskie mogą być zrealizowane w dowolnym czasie przed terminem wygaśnięcia. W skrajnym przypadku termin ten może być nieskończenie odległy co odpowiada opcji nigdy nie wygasającej.